题目内容
如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,B为切点,OC平行于弦AD,连结CD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点P,求证:P点平分线段DE.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点P,求证:P点平分线段DE.
(1)见解析(2)见解析
(1)连结OD,
∵OC∥AD,
∴∠1=∠ADO,∠2=∠DAO.
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠1=∠2.
∵OC=OC,OB=OD,
∴△DOC≌△BOC,
∴∠ODC=∠OBC.
∵OB是⊙O的半径,BC是⊙O的切线,
∴BC⊥OB,∴∠OBC=90°,
∴∠ODC=90°,∴CD⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线.
(2)证法一:过点A作⊙O的切线AF,交CD的延长线于点F,则FA⊥AB.
∵DE⊥AB,由(1)知CB⊥AB,
∴FA∥DE∥CB,∴.
在△FAC中,∵DP∥FA,∴.
∵FA,FD是⊙O的切线,∴FA=FD,
∴,∴
在△ABC中,∵EP∥BC,∴.
∵CD,CB是⊙O的切线,∴CB=CD,
∴.
∴,∴DP=EP.
∴点P平分线段DE.
证法二:辅助线同上.
由(1)及已知条件知BC,CD,AF为⊙O的切线,B,D,A为切点,
∴CB=CD,FA=FD.
设CD=m,FD=n.
∵DE⊥AB,∴AF∥DE∥BC.
∴,即PD=,PE=,
∴PD=PE,因此P点平分线段DE.
∵OC∥AD,
∴∠1=∠ADO,∠2=∠DAO.
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠1=∠2.
∵OC=OC,OB=OD,
∴△DOC≌△BOC,
∴∠ODC=∠OBC.
∵OB是⊙O的半径,BC是⊙O的切线,
∴BC⊥OB,∴∠OBC=90°,
∴∠ODC=90°,∴CD⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线.
(2)证法一:过点A作⊙O的切线AF,交CD的延长线于点F,则FA⊥AB.
∵DE⊥AB,由(1)知CB⊥AB,
∴FA∥DE∥CB,∴.
在△FAC中,∵DP∥FA,∴.
∵FA,FD是⊙O的切线,∴FA=FD,
∴,∴
在△ABC中,∵EP∥BC,∴.
∵CD,CB是⊙O的切线,∴CB=CD,
∴.
∴,∴DP=EP.
∴点P平分线段DE.
证法二:辅助线同上.
由(1)及已知条件知BC,CD,AF为⊙O的切线,B,D,A为切点,
∴CB=CD,FA=FD.
设CD=m,FD=n.
∵DE⊥AB,∴AF∥DE∥BC.
∴,即PD=,PE=,
∴PD=PE,因此P点平分线段DE.
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