题目内容

如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,B为切点,OC平行于弦AD,连结CD.
 
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点DDEAB于点E,交AC于点P,求证:P点平分线段DE.
(1)见解析(2)见解析
(1)连结OD
OCAD
∴∠1=∠ADO,∠2=∠DAO.
OAOD
∴∠ADO=∠DAO
∴∠1=∠2.
OCOCOBOD
∴△DOC≌△BOC
∴∠ODC=∠OBC.
OB是⊙O的半径,BC是⊙O的切线,
BCOB,∴∠OBC=90°,
∴∠ODC=90°,∴CDOD.
又∵OD是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线.
 
(2)证法一:过点A作⊙O的切线AF,交CD的延长线于点F,则FAAB.
DEAB,由(1)知CBAB
FADECB,∴.
在△FAC中,∵DPFA,∴.
FAFD是⊙O的切线,∴FAFD
,∴
在△ABC中,∵EPBC,∴.
CDCB是⊙O的切线,∴CBCD
.
,∴DPEP.
∴点P平分线段DE.
证法二:辅助线同上.
由(1)及已知条件知BCCDAF为⊙O的切线,BDA为切点,
CBCDFAFD.
CDmFDn.
DEAB,∴AFDEBC.
,即PDPE
PDPE,因此P点平分线段DE.
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