题目内容
【题目】以直角坐标系的原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数）.
（1）求曲线的参数方程与直线的普通方程；
（2）设点过
为曲线上的动点，点
和点
为直线上的点，且满足
为等边三角形，求边长的取值范围.
【答案】（1）
：
（
为参数，
），
：
；（2）
【解析】
（1）利用公式即可容易化简曲线的方程为直角坐标方程，再写出其参数方程即可；利用消参即可容易求得直线的普通方程；
（2）设出
的坐标的参数形式，将问题转化为求点到直线距离的范围问题，利用三角函数的值域求解即可容易求得结果.
（1）曲线的极坐标方程为
，
故可得
，则
，
整理得
，也即
，
由
，则可得
，
故其参数方程为
（为参数，）；
又直线的参数方程为
，
故可得其普通方程为.
（2）不妨设点的坐标为
，
则点到直线的距离
，
，
容易知
在区间
的值域为
，
故可得
.
则三角形
的边长为
，故其范围为.
【题目】为了解某初中学校学生睡眠状况，在该校全体学生中随机抽取了容量为120的样本，统计睡眠时间（单位：
）.经统计，时间均在区间
内，将其按
，
，
，
，
，
分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：
（1）世界卫生组织表明，该年龄段的学生睡眠时间
服从正态分布
，其标准为：该年龄段的学生睡眠时间的平均值
，方差
.根据
原则，用样本估计总体，判断该初中学校学生睡眠时间在区间
上是否达标？
（参考公式：
，
，
）
（2）若规定睡眠时间不低于
为优质睡眠.已知所抽取的这120名学生中，男、女睡眠质量人数如下
列联表所示：
优质睡眠 | 非优质睡眠 | 合计 | |
男 | 60 | ||
女 | 19 | ||
合计 |
将列联表数据补充完整，并判断是否有
的把握认为优质睡眠与性别有关系，并说明理由；
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
.）
