题目内容
【题目】如图,三棱锥中,点
分别是
的中点,点
是
的重心.
(1)证明:平面
;
(2)若平面平面
,
,
,
,
,求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)延长交
于点
,点
为
的中点,则有
,可证
平面
,
平面
,从而有平面
平面
,即可证明结论;
(2)由,得
,再由平面
平面
,得
平面
,以
为坐标原点,建立空间直角坐标系,设
,求出
坐标,进而求出平面
与平面
的法向量坐标,即可求解.
(1)证明:延长交
于点
,点
为
的中点,
因为,
分别是棱
,
的中点,
所以是
的中位线,所以
,
又平面
,
平面
,
所以平面
.
同理可证平面
又,
平面
,
平面
,
所以平面平面
,
因为平面
,所以
平面
(2)连接,因为
,
是
的中点,所以
,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
.
以为坐标原点,以向量
所在的方向分别作为
轴、
轴的正方向,
以与向量垂直的方向为
轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系
设,则
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则,即
令,得
,于是取
又平面的一个法向量为
,
则,即
令,得
于是取
设平面与平面
的所成的锐二面角为
则
所以平面与平面
的所成的锐二面角的余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
每分钟跳绳个数 | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)现从样本的100名学生跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(用最简分数表示)
(2)若该校高二年级共有2000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布
,其中
,
为样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:
(i)估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);
(ii)若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望与方差.
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
,
.