题目内容
【题目】给定椭圆C:(
),称圆心在原点O,半径为
的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率
,点
在C上.
(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线,
使得
,与椭圆C都只有一个交点,且
,
分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长
为定值.
【答案】(1),
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据题意列出再结合
即可解出
,
,从而得到椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;
(2) 根据分类讨论,当有一条直线斜率不存在时(不妨假设
无斜率),可知其方程为
或
,这样可求出
;当两条直线的斜率都存在时,设经过点
与椭圆只有一个公共点的直线为
,与椭圆方程联立,由
可得
,所以线段
应为“卫星圆”的直径,即
,故得证.
(1)由条件可得:
解得,
所以椭圆的方程为,
卫星圆的方程为
(2)①当,
中有一条无斜率时,不妨设
无斜率,
因为与椭圆只有一个公共点,则其方程为
或
,
当方程为
时,此时
与“卫星圆”交于点
和
,
此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是
或
,即
为
或
,
∴
∴线段应为“卫星圆”的直径,
∴
②当,
都有斜率时,设点
,其中
,
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
,
则,
消去y得到,
∴
∴
所以,满足条件的两直线
,
垂直.
∴线段应为“卫星圆”的直径,∴
综合①②知:因为,
经过点
,又分别交“卫星圆”于点
,且
,
垂直,所以线段
是“卫星圆”
的直径,∴
为定值.
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