题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在点
处切线的斜率为4,求实数
的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若函数在
上是减函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1)6;(2)单调递减区间是,单调递增区间是
;(3)
【解析】
(1)利用导数的几何意义得到,从而求出a的值.(2)对a分类讨论,利用导数求函数的单调区间.(3)先转化为
在
上恒成立,再化为
在
上恒成立,再求
在
上的最大值即得a的取值范围.
(1),而
,即
,解得
.
(2)函数的定义域为
.
①当时,
,
的单调递增区间为
;
②当时,
.
当变化时,
的变化情况如下:
由此可知,函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(3),于是
.
因为函数在
上是减函数,所以
在
上恒成立,
即在
上恒成立.
又因为函数的定义域为
,所以有
在[
上恒成立.
于是有,设
,则
,所以有
,
,
当时,
有最大值
,于是要使
在
上恒成立,只需
,
即实数的取值范围是
.
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