题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
为矩形,
平面
,
为
上的一点,
平面
;
(1)求证:为
的中点;
(2)求证:
(3)设二面角为60°,
,
,求
长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)连接BD交AC于O,连接EO.由线面平行的性质可得PB∥OE,故而得出E为PD的中点;
(2)证明CD⊥平面PAD,则可得出CD⊥AE;
(3)建立空间坐标系,求出两平面的法向量,利用法向量的夹角公式运算得出AB的长.
(1)连交
于
点,连结
,
因为平面
,PB平面PBD,平面
平面
,
∴,
∵为
中点,∴
为
中点.
(2)∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥AD,
又PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,又AE平面PAD.
∴CD⊥AE.
(3)以A为原点,以AB,AD,AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示,
设AB=a,则A(0,0,0),C(a,,0),D(0,
,0),P(0,0,1),E(0,
,
),
∴(a,
,0),
(0,
,
),
(0,0,1),
显然(1,0,0)为平面AED的一个法向量,
设平面ACE的法向量为(x,y,z),则
,即
,
令z得
(
,﹣1,
),
∵二面角D﹣AE﹣C为60°,
∴|cos|=|
|
,
解得a,即AB
.
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