题目内容

19.已知函数f(x)=ex•(x2-mx)在x=$\sqrt{2}$处取得极小值.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)设g(x)=ln(ax+1)-$\frac{{x}^{2}-1}{\frac{f(x)}{{e}^{x}}+4x+1}$(a>0),若g(x)在[0,+∞)上的最小值为1,求实数a的取值范围.

分析 (Ⅰ)先求出f(x)的导数,根据f′($\sqrt{2}$)=0,从而求出m的值;(Ⅱ)先求出函数g(x)的表达式,结合g(x)的单调性,得到关于a的不等式,解出即可.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=ex[x2+(2-m)x-m],
由f′($\sqrt{2}$)=0,得:2+(2-m)$\sqrt{2}$-m=0,
解得:m=2,
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:f(x)=ex(x2-2x),
∴$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$=x2-2x,
∴g(x)=ln(ax+1)-$\frac{{x}^{2}-1}{{(x+1)}^{2}}$=ln(ax+1)+$\frac{2}{x+1}$-1,
∴g′(x)=$\frac{a}{ax+1}$-$\frac{2}{{(x+1)}^{2}}$=$\frac{{a(x+1)}^{2}-2(ax+1)}{(ax+1)({x+1)}^{2}}$,
当x=0时,g(0)=1,
∴当函数g(x)在[0,+∞)单调递增时,g(x)min=g(0)=1,
∴g′(x)≥0,
令h(x)=a(x+1)2-2(ax+1)=ax2+a-2≥0在[0,+∞)恒成立,
∴a-2≥0,解得:a≥2.

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,(Ⅱ)较复杂,结合函数的单调性可求出答案,本题属于中档题.

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