题目内容

20．在△ABC中，角A、B、C、的对边分别为a、b、c，（a+b）（cosA+cosB）=2c，则△ABC（　　）
A．是等腰三角形，但不一定是直角三角形
B．是直角三角形，但不一定是等腰三角形
C．既不是等腰三角形，也不是直角三角形
D．既不是等腰三角形，也是直角三角形

分析 根据正弦定理和两角和的正弦公式化简（a+b）（cosA+cosB）=2c，根据内角的范围判断出△ABC的形状．

解答 解：由题意知，（a+b）（cosA+cosB）=2c，
∴由正弦定理得，（sinA+sinB）（cosA+cosB）=2sinC，
sinAcosA+sinAcosB+sinBcosA+sinBcosB=2sinC
sinAcosA+sin（A+B）+sinBcosB=2sinC
又sin（A+B）=sinC，则sinAcosA-sin（A+B）+sinBcosB=0，
∴sinAcosA-sinAcosB-sinBcosA+sinBcosB=0
sinA（cosA-cosB）-sinB（cosA-cosB）=0
∴（cosA-cosB）（sinA-sinB）=0，
∴cosA=cosB或sinA=sinB，
又A、B∈（0，π），则A=B，
∴a=b，则△ABC是等腰三角形，
故选：A．

点评 本题考查正弦定理，两角和的正弦公式的应用，以及化简、变形能力，属于中档题．

练习册系列答案
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