Question

5．函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）若a=-1，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；
（2）若?x₀∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出切点坐标，将（1，1）代入切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程；
（2）问题转化为2a≤2lnx-3x-$\frac{1}{x}$的最大值，令h（x）=2lnx-3x-$\frac{1}{x}$，求出h（x）的最大值即可．

解答 解：（1）设切点为（x₀，y₀），则切线方程为y-y₀=（3${{x}_{0}}^{2}$-2x₀-1）（x-x₀），
将（1，1）代入得-1（${{x}_{0}}^{3}$-${{x}_{0}}^{2}$-x₀+2）=（3${{x}_{0}}^{2}$-2x₀-1）（x-x₀），
x₀${{（x}_{0}-1）}^{2}$，解得：x₀=0或x₀=1，
切线方程为y=-x+2或y=1；
（2）由不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，
得：2xlnx≥3x²+2ax-1+2，有解，
∴2a≤2lnx-3x-$\frac{1}{x}$的最大值，
令h（x）=2lnx-3x-$\frac{1}{x}$，则h′（x）=$\frac{-（x-1）（3x+1）}{{x}^{2}}$，
0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增，x＞1时h′（x）＜0，h（x）单减，
∴x=1时，h（x）_max=-4，
∴2a≤-4，得a≤-2．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，曲线的切线方程，是一道中档题．