题目内容
【题目】直四棱柱被平面
所截得到如图所示的五面体,
,
.
(1)求证:∥平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)利用面面平行的性质定理,可证得线面平行;
(2)以为坐标原点,
为
轴,
为
轴,过
垂直于
的直线为
轴,如图建系,求出平面
的一个法向量
,平面
的一个法向量
,求出向量夹角的余弦值,即可得到答案;
(1)在直四棱柱中,
平面
,
∵平面
,∴
∵,
,∴
平面
同理可证平面
,
∴平面平面
,
∵平面
,∴
平面
(2)∵平面平面
,平面
平面
,平面
平面
,∴
∥
,
∴和
与平面
所成角相等,即
;
∵,∴
,∴
,
以为坐标原点,
为
轴,
为
轴,过
垂直于
的直线为
轴,如图建系,
,
,
,
,
∴,
,
,
设为平面
的一个法向量,则
,即
,
令,则
设为平面
的一个法向量,则
,即
,
令,则
,
则,
由图知,二面角为锐角,则二面角
的余弦值为
.

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