题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，其右顶点为
，下顶点为
，定点
，
的面积为
，过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
两点，直线
分别与
轴交于
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，
【解析】
（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a、b，即可写出椭圆方程；（2）设出直线
的方程与点
的坐标，求出直线BP、BQ的方程进而求出点M、N的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于
、
的表达式，直线的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出
、
，代入横坐标的乘积化简即可证明.
（1）由已知，
的坐标分别是
由于
的面积为
，
①，又由
，化简得
②，
①②两式联立解得：
或
（舍去），
，
椭圆方程为；
（2）设直线的方程为
，的坐标分别为
则直线
的方程为
，令
，得点
的横坐标
，
直线
的方程为
，令，得点
的横坐标
，
把直线代入椭圆得
，
由韦达定理得
，
∴
，是定值．
【题目】某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本4元，且以9元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂．根据以往100天的资料统计，得到如表需求量表：
需求量/个 | [100，110） | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
天数 | 15 | 25 | 30 | 20 | 10 |
该蛋糕店一天制作了这款蛋糕X（X∈N）个，以x（单位：个，100≤x≤150，x∈N）表示当天的市场需求量，T（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润．
（1）当x＝135时，若X＝130时获得的利润为T1，X＝140时获得的利润为T2，试比较T1和T2的大小；
（2）当X＝130时，根据上表，从利润T不少于560元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天．
（i）求此时利润T关于市场需求量x的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；
（ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
【题目】万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全
列联表；并判断能否有
的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为
，求的分布列与数学期望.
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，