题目内容
【题目】如图,三棱锥的底面是边长为3的等边三角形,侧棱
设点M,N分别为PC,BC的中点.
(Ⅰ)求证:BC⊥面AMN;
(Ⅱ)求直线AP与平面AMN所成角.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)30°
【解析】
(Ⅰ)根据边长关系可以计算,由传递性可得
,再根据等边三角形的性质可知
,由此可证明. (Ⅱ)利用BC⊥面AMN的关系,过P做面AMN的垂线
,则
为所求角,根据长度关系可求出角的正弦值,进而求出角的大小.
(Ⅰ)因为,
所以
为直角三角形,由勾股定理逆定理可知
,
所以,在等边三角形
中,
为
中点,所以
,又
,所以
面
.
(Ⅱ)延长到
,使
,连接
,
,于是四边形
为平行四边形.所以
,
根据前一问的结论可知面
,所以
直线直线AP与平面AMN所成角.
在直角三角形中,
,所以
.
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