Question

6．已知函数f（x）=-x²+（a+4）x+2+b，log₂f（1）=3，且g（x）=f（x）-2x为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，+∞）的最大值为1-3m，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数是偶函数，以及log₂f（1）=3列出方程求出a，b，即可得到函数的解析式．
（2）利用函数f（x）的对称轴，讨论对称轴是否在区间[m，+∞）内，然后通过函数的最大值为1-3m，求解m即可．

解答 解：（1）函数f（x）=-x²+（a+4）x+2+b，log₂f（1）=3，可得log₂（a+b+5）=3，
可得a+b+5=8，即a+b=3．
g（x）=f（x）-2x=-x²+（a+2）x+2+b为偶函数，可得a=-2，
所以b=5．
可得函数f（x）的解析式f（x）=-x²+2x+7．
（2）函数f（x）在区间[m，+∞）的最大值为1-3m，
即函数f（x）=-x²+2x+7在区间[m，+∞）的最大值为1-3m．
函数的对称轴为：x=1，当m≤1时，可得-1+2+7=1-3m，解得m=-3．
当m＞1时，可得-m²+2m+7=1-3m，解得m=-1（舍去）．或m=6．
综上m=-3或6．

点评 本题考查偶函数的性质，二次函数的性质闭区间上的最值的求法，考查函数的最值以及几何意义，考查计算能力．