题目内容

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=2an﹣2(n∈N*),数列{bn}满足b1=1,且点P(bn , bn+1)(n∈N*)在直线y=x+2上.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Dn
(3)设cn=ansin2 ,求数列{cn}的前2n项和T2n

【答案】
(1)解:当n=1,a1=2

当n≥2时,an=Sn﹣Sn1=2an﹣2an1

∴an=2an1(n≥2),∴{an}是等比数列,公比为2,首项a1=2

又点 在直线y=x+2上,∴bn+1=bn+2,

∴{bn}是等差数列,公差为2,首项b1=1,∴bn=2n﹣1


(2)解:∵

①﹣②得

=


(3)解:

T2n=(a1+a3+…+a2n1)﹣(b2+b4+…b2n

=


【解析】(1)利用数列递推式,再写一式,两式相减,可求求数列{an}的通项公式;利用点 在直线y=x+2上,可得{bn}是等差数列,公差为2,首项b1=1,从而可求{bn}的通项公式;(2)利用错位相减法,可求数列{anbn}的前n项和Dn;(3)利用分组求和法,可求数列{cn}的前2n项和T2n
【考点精析】掌握数列的前n项和是解答本题的根本,需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系

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