题目内容
【题目】设,已知定义在R上的函数
在区间
内有一个零点
,
为
的导函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设,函数
,求证:
;
(Ⅲ)求证:存在大于0的常数,使得对于任意的正整数
,且
满足
.
【答案】(Ⅰ)增区间是,
,递减区间是
.(Ⅱ)见解析;(III)见解析.
【解析】试题分析:由于为
,所以判断
的单调性,需要对
二次求导,根据
的导数的符号判断函数的单调性,给出单调区间;由
,得
,.令函数
,
分别求导证明.有关零点问题,利用函数的单调性了解函数的图像情况,对极值作出相应的要求可控制零点的个数.
试题解析:(Ⅰ)解:由,可得
,
进而可得.令
,解得
,或
.
当x变化时, 的变化情况如下表:
x | |||
+ | - | + | |
↗ | ↘ | ↗ |
所以, 的单调递增区间是
,
,单调递减区间是
.
(Ⅱ)证明:由,得
,
.
令函数,则
.由(Ⅰ)知,当
时,
,故当
时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.因此,当
时,
,可得
.
令函数,则
.由(Ⅰ)知,
在
上单调递增,故当
时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减.因此,当
时,
,可得
.
所以, .
(III)证明:对于任意的正整数 ,
,且
,
令,函数
.
由(II)知,当时,
在区间
内有零点;
当时,
在区间
内有零点.
所以在
内至少有一个零点,不妨设为
,则
.
由(I)知在
上单调递增,故
,
于是.
因为当时,
,故
在
上单调递增,
所以在区间
上除
外没有其他的零点,而
,故
.
又因为,
,
均为整数,所以
是正整数,
从而.
所以.所以,只要取
,就有
.
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