题目内容

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（-1，$\frac{3}{2}$），右顶点为A，经过点F的动直线l与椭圆交于B，C两点．
（1）求椭圆方程；
（2）记△AOB和△AOC的面积分别为S1和S2，求|S1-S2|的最大值；
（3）在x轴上是否存在一点T，使得点B关于x轴的对称点落在直线TC上？若存在，则求出T点坐标；若不存在，请说明理由．

分析 （1）利用焦点为F（1，0），且过点（-1，$\frac{3}{2}$），列出方程，然后求解椭圆方程．
（2）设直线l方程为：x=my+1．与椭圆联立，设B（x1，y1），C（x2，y2），（y1＞0，y2＜0），利用韦达定理，通过当m=0时，显然|S1-S2|=0；当m≠0时，$|{{S_1}-{S_2}}|=|{\frac{1}{2}•2•{y_1}-\frac{1}{2}•2•（-{y_2}）}|$，求解|S1-S2|的最大值．
（3）假设在x轴上存在一点T（t，0）满足已知条件，利用kTB=-kTC，求出t﹒说明存在点T（4，0）满足条件．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1\\{a}^{2}-{b}^{2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（3分）
（2）设直线l方程为：x=my+1．
联立C得（3m2+4）y2+6my-9=0
设B（x1，y1），C（x2，y2），（y1＞0，y2＜0），则${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$
当m=0时，显然|S1-S2|=0；
当m≠0时，$|{{S_1}-{S_2}}|=|{\frac{1}{2}•2•{y_1}-\frac{1}{2}•2•（-{y_2}）}|$=$|{{y_1}+{y_2}}|=\frac{6|m|}{{3{m^2}+4}}$=$\frac{6}{{3|m|+\frac{4}{|m|}}}≤\frac{6}{{2\sqrt{3|m|•\frac{4}{|m|}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
当且仅当$3|m|=\frac{4}{|m|}$，即$m=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时取等号
综合得$m=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时，|S1-S2|的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（8分）
（3）假设在x轴上存在一点T（t，0）满足已知条件，则kTB=-kTC
即$\frac{y_1}{{{x_1}-t}}=-\frac{y_2}{{{x_2}-t}}⇒{y_1}（{x_2}-t）+{y_2}（{x_1}-t）=0$
⇒y1（my2+1-t）+y2（my1+1-t）=0⇒2my1y2+（1-t）（y1+y2）=0$⇒2m•\frac{-9}{{3{m^2}+4}}+（1-t）•\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}=0$
整理得：（4-t）•m=0，
∵m任意，∴t=4﹒故存在点T（4，0）满足条件﹒…（14分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，存在性问题的处理方法，韦达定理以及基本不等式的应用，考查计算能力．

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A．142.8cmB．145.9cmC．149.8cmD．151.7cm

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