题目内容

8.若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-4x+3=0相离,则双曲线离心e的取值范围是(  )
A.(1,+∞)B.($\frac{2\sqrt{3}}{3}$,+∞)C.($\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,+∞)D.($\sqrt{2}$+1,+∞)

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-4x+3=0相离?圆心(2,0)到渐近线的距离大于半径r,利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出.

解答 解:取双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x,即bx-ay=0.
由圆x2+y2-4x+3=0化为(x-2)2+y2=1.圆心(2,0),半径r=1.
∵渐近线与圆x2+y2-4x+2=0相离,∴$\frac{|2b|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$>1化为$\frac{1}{3}$a2<b2
∴$\frac{4}{3}$a2<c2
∴该双曲线的离心率e的取值范围是e>$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
故选:B.

点评 熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相离的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键.

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