题目内容

7.已知⊙C过点P(1,1),且与⊙M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(Ⅰ)求⊙C的方程;
(Ⅱ)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.

分析 (Ⅰ)设出圆心的坐标,根据题意列方程求得圆心的坐标,求得半径,则圆的方程可得.
(Ⅱ)设出PA,PB的直线方程,把直线PA与圆的方程联立,根据点P的横坐标表示出方程的两个解,进而可表示出直线AB的斜率,判断出两直线的斜率相等.

解答 (Ⅰ)解:设圆心C(a,b),则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\\{\frac{b+2}{a+2}=1}\end{array}}\right.$,解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}}\right.$,
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(Ⅱ)解:由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,
故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),且k≠0,
由$\left\{{\begin{array}{l}{y-1=k(x-1)}\\{{x^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$,得(1+k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0,
∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=$\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$,
同理,xB=$\frac{{{k^2}+2k-1}}{{1+{k^2}}}$,
∴${k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k({x_B}-1)-k({x_A}-1)}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{2k-k({x_B}+{x_A})}}{{{x_B}-{x_A}}}$=1=kOP
∴直线AB和OP一定平行.

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用.用待定系数法是解决圆的标准方程问题的常用方法.直线与圆的方程问题的综合,直线与圆的方程联立,利用代数的方法来解决问题,是解决本题的关键.

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