Question

【题目】设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．

（1）求f（x）的单调区间及极值；

（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞),极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)；（Ⅱ）求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1．

【解析】试题分析：（1）由，知．令，得．列表讨论能求出的单调区间区间及极值．

（2）设，于是,由（1）知当时，最小值为，于是对任意，都有，所以在内单调递增．由此能够证明．

试题解析：解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，

∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．

令f′（x）=0，得x=ln2．

于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），

单调递增区间是（ln2，+∞），

f（x）在x=ln2处取得极小值，

极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．

（2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，

于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．

由（1）知当a＞ln2﹣1时，

g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．

于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．

于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．

而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．

即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，

故ex＞x2﹣2ax+1．