Question

【题目】已知数列的首项为1.记.

（1）若为常数列，求的值：

（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式：

（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出数列的通项公式：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在等差数列满足题意，

【解析】

(1)根据常数列代入其值得解；

(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；

(3)对于开放性的问题先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论.

解：（1）∵为常数列，∴.

∴

（2）∵为公比为2的等比数列，.

∴

∴

故.

（3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，

设公差为，则

相加得

∴.

∴恒成立，

即恒成立，∴

故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为