题目内容
【题目】已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)对h(x)求导,得,对,分别讨论,得单调区间;
(2)设f(x)在点(x1,f(x1))与g(x)在点(x2,f(x2))处切线相同,则,分别求得导数和切线的斜率,构造新函数 ,求出导数和单调区间,最值,运用单调性计算可得a的范围.
(1)函数的定义域为,,
所以
所以当即时,,在上单调递增;
当即时,
当时,在上单调递增;
当时,令得
|
|
|
|
| + | - | + |
| 增 | 减 | 增 |
综上:当时,在上单调递增;当时在,单调递增,在单调递减.
(2)设函数在点与函数在点处切线相同,
,则,
由,得,再由
得,把代入上式得
设(∵x2>0,∴x∈(0,+∞)),
则 不妨设.
当时,,当时,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,
把代入可得:
设,则对恒成立,
所以在区间上单调递增,又
所以当时,即当时,
又当时,
因此当时,函数必有零点;即当时,必存在使得成立;
即存在使得函数在点与函数在点处切线相同.
又由单调递增得,因此
所以实数的取值范围是.
练习册系列答案
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【题目】近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示,绘制相应的散点图,如图所示:
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
羊只数量(万只) | 1.4 | 0.9 | 0.75 | 0.6 | 0.3 |
草地植被指数 | 1.1 | 4.3 | 15.6 | 31.3 | 49.7 |
根据表及图得到以下判断:①羊只数量与草场植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为,去掉第一年数据后得到的相关系数为,则;③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数;以上判断中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3