题目内容
【题目】已知椭圆E：
（
）的离心率为
，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点
和点
（
）.当直线
与x轴垂直时，
.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l：
交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C.求证：直线
过线段
的中点.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）通过离心率推出
，结合
．转化求解
，
，求解椭圆
的方程．
（2）求出
，
，得到线段
的中点为
．①当直线
与
轴垂直时，说明直线
过线段的中点．②当直线不与轴垂直时，可设其方程为
，代入，利用韦达定理设
，
，
，
，
，求出的方程为
．推出直线系方程，说明直线过线段的中点．
（1）由
，得，所以，
因为直线经过点F，且
，所以根据对称性，不妨设
.
当直线与x轴垂直时，
，
，所以
.
由
，得
，所以
，
.
所以椭圆E的方程为.
（2）当直线与x轴垂直时，
，
，
，
这时直线的方程为
，即
.
令
，得
，点
恰为线段的中点.
因为
，当直线不与x轴垂直时，可设其方程为
，
代入，
整理得
.
所以
，
.
因为
，
，
，
所以直线的方程为
.
因为
，
，
所以
，
这说明直线过点.
综上可知直线过线段的中点.
【题目】千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下
列联表：
夜晚天气 日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出现 | 25 | 5 |
未出现 | 25 | 45 |
临界值表 | ||||
P（ | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
并计算得到
，下列小波对地区A天气判断不正确的是（ ）
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有
的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨
