题目内容
【题目】已知圆C：x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．
（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）m＝3
【解析】
(1)将圆的方程配方，
得
2＋(y－3)2＝
，
故有＞0，解得m＜
.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得
消去y，得x2＋
2＋x－6×
＋m＝0，
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0， ①
∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)＜0，解得m＞8.∴m的取值范围是.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OP⊥OQ，得
＝0，即x1x2＋y1y2＝0， ②
由①及根与系数的关系，得
x1＋x2＝－2，x1·x2＝
， ③
又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1·y2＝
·
＝
[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，
将③代入上式，得y1·y2＝
， ④
将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝＋＝0，解得m＝3.
代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m＝3.
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