Question

【题目】已知椭圆的短轴长为，过点，的直线倾斜角为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点且斜率为的直线，使直线交椭圆于两点，以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为

【解析】

（1）由短轴长为，可得，由过点，的直线倾斜角为可得，解出可得椭圆方程；

（2）假设存在实数满足题意，联立直线方程和椭圆方程，消去，运用韦达定理，以及，又，，化简整理，解出，注意检验判别式是否等于0，即可判断.

（1）由椭圆的短轴长为，可得，

∵过点，的直线倾斜角为，

∴，解得，

∴椭圆的方程.

（2）假设存在实数，满足题意，此时直线的方程为，

将代入椭圆方程，得，

设，，以为直径的圆过点，

则，即，

又，，得，

又，，

代入上式可得，解得，

此时代入，满足题意，

故存在满足题意，

此时直线的方程为.