题目内容

7.设f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n为正整数),若f(1)=n2,则(  )
A.an=2n-1,f($\frac{1}{3}$)的最小值为1B.an=n,f($\frac{1}{3}$)的最小值为$\frac{1}{3}$
C.an=2n-1,f($\frac{1}{3}$)的最小值为$\frac{1}{3}$D.an=n,f($\frac{1}{3}$)的最小值为$\frac{2}{3}$

分析 把n=1代入f(x)得a1+a2+…+an=n2,令n取n-1代入得a1+a2+…+an-1=(n-1)2,两个式子相减后在验证n=1时是否成立,即可求出an,代入$f(\frac{1}{3})$后利用错位相减法求出$f(\frac{1}{3})$,利用作差法判断出$f(\frac{1}{3})$的单调性,从而求出$f(\frac{1}{3})$的最小值.

解答 解:∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n为正整数),且f(1)=n2
∴a1+a2+…+an=n2
当n≥2时,a1+a2+…+an-1=(n-1)2
两个式子相减可得,an=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,a1=1,代入上式也符合,
∴an=2n-1,则f(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn
∴$f(\frac{1}{3})=\frac{1}{3}+3•\frac{1}{{3}^{2}}+5•\frac{1}{{3}^{3}}+…+(2n-1)•\frac{1}{{3}^{n}}$,①
$\frac{1}{3}$$f(\frac{1}{3})=\frac{1}{{3}^{2}}+3•\frac{1}{{3}^{3}}+5•\frac{1}{{3}^{4}}+…+(2n-1)•\frac{1}{{3}^{n+1}}$,②
①-②得,$\frac{2}{3}$$f(\frac{1}{3})=\frac{1}{3}+2[\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+\frac{1}{{3}^{4}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}]-(2n-1)•\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+2×$\frac{\frac{1}{9}(1-\frac{1}{{3}^{n-1}})}{1-\frac{1}{3}}$$-(2n-1)•\frac{1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}-\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$
∴$f(\frac{1}{3})$=$1-\frac{n+1}{{3}^{n}}$,
∵$1-\frac{n+2}{{3}^{n+1}}$-($1-\frac{n+1}{{3}^{n}}$)=$-\frac{n+2}{{3}^{n+1}}+\frac{n+1}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$>0,
∴$f(\frac{1}{3})$随着n的增大而增大,则$f(\frac{1}{3})$的最小值是1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$,
故选:C.

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式,数列的前n项和与通项公式的关系式应用,利用作差法判断数列的单调性,以及错位相减法求数列的和,属于中档题.

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