Question

1．点P（x₀，y₀）为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1外一点，l：$\frac{{x}_{0}x}{4}$+$\frac{{y}_{0}y}{3}$=1，则l与C的关系是（　　）

• A． 相交
• B． 相切
• C． 相离
• D． 相交或相切

Answer 1

分析 由点P（x₀，y₀）为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1外一点，得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}＞1$，即$3{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-12＞0$，联立直线和椭圆方程，由判别式大于等于0得答案．

解答 解：∵点P（x₀，y₀）为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1外一点，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}＞1$，即$3{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-12＞0$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{4}+\frac{{y}_{0}y}{3}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y得：$（3{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}）{x}^{2}-24{x}_{0}x+48-16{{y}_{0}}^{2}=0$．
△=$（-24{x}_{0}）^{2}-4（3{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}）（48-16{{y}_{0}}^{2}）$=${{y}_{0}}^{2}（192{{x}_{0}}^{2}+256{{y}_{0}}^{2}-768）$=$64{{y}_{0}}^{2}（3{{x}_{0}}^{3}+4{{y}_{0}}^{2}-12）$≥0．
∴l与C的关系是相交或相切．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线和椭圆的位置关系的判断，训练了判别式法，是基础题．