Question

【题目】设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N* ， 存在k∈N* ， 使得an+k2=anan+2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．
（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2=8，a8=1，求a2n；
（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}是“J2”型数列，

∴ =anan+4

∴数列{an}的奇数项、偶数项分别组成等比数列

设偶数项组成的等比数列的公比为q，

∵a2=8，a8=1，∴ ，∴q=

∴a2n=8× =24﹣n；

（2）解：由题设知，当n≥8时，an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6成等比数列；an﹣6，an﹣2，an+2，an+6也成等比数列．

从而当n≥8时，an2=an﹣3an+3=an﹣6an+6，（*）且an﹣6an+6=an﹣2an+2．

所以当n≥8时，an2=an﹣2an+2，即

于是当n≥9时，an﹣3，an﹣1，an+1，an+3成等比数列，从而an﹣3an+3=an﹣1an+1，故由（*）式知an2=an﹣1an+1，

即 ．

当n≥9时，设 ，当2≤m≤9时，m+6≥8，从而由（*）式知am+62=amam+12，

故am+72=am+1am+13，从而 ，

于是 ．

因此 对任意n≥2都成立．

因为 ，所以 ，

于是 ．

故数列{an}为等比数列．

【解析】（1）利用数列{an}是“J2”型数列，可得数列{an}的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据a2=8，a8=1，求出数列的公比，即可得到通项；（2）由题设知，当n≥8时，an﹣6 ， an﹣3 ， an ， an+3 ， an+6成等比数列；an﹣6 ， an﹣2 ， an+2 ， an+6也成等比数列，可得 ，进而可得 ， 对任意n≥2都成立，由此可得数列{an}为等比数列．
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．