题目内容
【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆,
为椭圆
上一点,过点
的直线
交椭圆
于
两点,射线
交椭圆
于点Q.
(i)若为椭圆
上任意一点,求
的值;
(ii)若点坐标为
,求
面积的最大值.
【答案】(1).(2)(i)2(ii)
.
【解析】
(1)根据和
,可得到
,代入点
到椭圆的方程,解出
和
的值即可得解;
(2)(i)先由(1)中的结论得出椭圆E的方程,设点,写出射线
的方程,再将其代入椭圆
的方程可得到点
的坐标,然后利用两点间距离公式分别求出
,并作比即可得解;
(ii)利用点到直线的距离公式可得到点到直线
的距离,联立直线
的方程与椭圆
的方程,消去
得到关于
的一元二次方程,然后利用弦长公式求出
,即可表示出
的面积,再结合换元法和对勾函数的性质即可求得面积的最大值.
(1)由题意可知,,
∵,∴
,
又椭圆过点,∴
,解得
,∴
,
∴椭圆C的方程为.
(2)(i)由(1)可知,椭圆E的方程为,设点
,
∴射线的方程为
,代入
可得点
,
∴.
(ii)∵,∴过点P的直线为
,
∵点Q到直线AB的距离等于原点O到直线AB距离的3倍,
∴,
联立,得
,
∴弦长,
∴面积
,
令,则
,
当且仅当时,等号成立.
故面积的最大值为
.
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练习册系列答案
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频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?