题目内容
【题目】已知两点分别在
轴和
轴上运动,且
,若动点
满足
.
(1)求出动点的轨迹
的标准方程;
(2)设动直线与曲线
有且仅有一个公共点,与圆
相交于两点
(两点均不在坐标轴上),求直线
的斜率之积.
【答案】(1); (2)
.
【解析】
(1)计算得到,根据
,计算得到答案.
(2)讨论直线的斜率存在和直线
的斜率不存在两种情况,计算得到答案.
(1)因为,即
所以,所以
又因为,所以
,即
,即
.
所以曲线的标准方程为
.
(2)当直线的斜率存在时,设
的方程为
.
由方程组得
.
∵直线与椭圆
有且仅有一个公共点,
∴,即
.
由方程组得
,
则.
设,则
,
设直线的斜率分别为
,
所以
,
将代入上式,得
.
当直线的斜率不存在时,由题意知
的方程为
.
此时,圆与
的交点
也满足
.
综上,直线的斜率之积为定值
.
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