题目内容
【题目】如图，已知
，
，
是椭圆
的三个顶点，椭圆的离心率
，点到直线
的距离是
.设
是椭圆上位于
轴左边上的任意一点，直线
，
分别交直线
于
，
两点，以
为直径的圆记为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：圆始终与圆
：
相切，并求出所有圆的方程.
【答案】(1)
；(2)证明见详解；
或
.
【解析】
（1）写出直线
方程，利用点到直线距离公式，求得
方程，结合离心率得到的方程，求得
即可得到椭圆方程；
（2）根据
三点分别共线，可得
的坐标，从而求得圆
的圆心和半径，根据两圆的位置关系，即可容易证明和求解.
（1）因为椭圆的离心率为
，故可得
；
又容易知方程为
，又点
坐标为
故可得
，结合
，
解得
，
故可得椭圆方程为
.
（2）不妨设
点坐标为
，
因为
，
由
三点共线可知：
，解得
；
同理由
三点共线可得
.
故可得点的坐标为
，圆的半径
；
又因为圆
的圆心为
，半径为
，
故可得两圆圆心距
因为点
满足椭圆方程，故可得
，代入上式得：
，
故当
时，可得
整理得
，
当
，即
或
时，
此时圆
内切.即证.
此时满足题意的圆为
或
.
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