题目内容
【题目】已知函数.
(1)过点(e是自然对数的底数)作函数
图象的切线l,求直线l的方程;
(2)求函数在区间
(
)上的最大值;
(3)若,且
对任意
恒成立,求k的最大值.(参考数据:
,
)
【答案】(1)(2)
(3)最大值是4.
【解析】
(1)设出切点坐标为,求得导函数后,将横坐标带入可得切线的斜率.点
在切线方程上,可由点斜式表示出切线方程.带入切点后,可求得切点的横坐标.带入切线方程即可求解.
(2)求得导函数,并令.即可求得极值点,并根据导函数符号判断出为极小值点.讨论
及
两种情况,即可根据单调性求得最大值.
(3)因为时
,分类参数
.构造函数
,求得导函数
,并令
,再求得
.通过
的符号,判断出
的单调性.从而由零点存在定理可知
在
上有且仅有一个零点.设这个零点为
,结合
函数可判断出当
时,
,当
时,
.从而可知
在
处取得最小值.即可由整数
求得
的最大值.
(1)设切点为,则
,
因为,所以
,
因为切线过点,所以切线方程为
,①
代入切点得,
,
解得,代入①得直线l的方程为
,
即直线l的方程为.
(2)函数,则
由得,
,
所以当时,
,当
时,
,
所以是极小值,
因为(
)恒成立,所以分如下两种情况讨论:
1°当时,函数
在区间
上是增函数,
则,
2°当时,函数
在区间
上是增函数,
则,
因为,
显然,
所以,
综上所述的最大值为
.
(3)由可知
,所以
等价于
,
令,则
,
令,则
,
恒成立,
所以在
上是增函数,
又因为,
,
所以在
上有且仅有一个零点,
记该零点为,
所以,也即
,
所以当时,
,当
时,
,
所以在
处取得极小值,也是最小值,
即,
所以整数(
),
所以k的最大值是4.
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