题目内容
【题目】如图,某镇有一块空地,其中
,
,
.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖
,其中M,N都在边
上,且
,挖出的泥土堆放在
地带上形成假山,剩下的
地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在
的周围安装防护网.
(1)当时,求防护网的总长度;
(2)为节省资金投入,人工湖的面积要尽可能小,设
,问:当
多大时
的面积最小?最小面积是多少?
【答案】(1)(2)
时,
的面积取最小值为
【解析】
(1)证明为正三角形,可得
的周长为6,即防护网的总长度为6km.
(2)在和
中使用正弦定理求出
,得出
的面积关于
的函数,利用三角函数恒等变换化简,得出面积的最小值.
解:(1)∵在中,
,
,
∴
又∵在中,
,
∴由余弦定理得即
即
∴为正三角形,其周长为
∴防护网的总长度为
(2)由题得
在中,
即
(或
)
在中,
即
∴
(或
)
又∵即
∴当且仅当即
时
的面积取最小值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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