Question

15．设函数y=$\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{x+4}-1}}$的定义域为集合A，集合B={x||x-3|＜a，x∈R}，其中a∈R．
（1）若a=4，求B∩∁_UA；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出求出集合A、B，根据交集和补集的即可求出答案．
（2）由A∩B=B，得到B⊆A，分a≤0时，B=∅，满足B⊆A，a＞0，两种情况讨论，分别由子集的关系列出不等式求出a的范围．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{x+4}-1}}$的定义域为集合A，
∴$\frac{9}{x+4}$-1＞0，
解得-4＜x＜5，
∴A=（-4，5），
∴∁_UA=（-∞，-4]∪[5，+∞），
当a=4时，|x-3|＜4，解得-1＜x＜7，
∴B=（-1，7），
∴B∩∁_UA=[5，7）；
（2）∵A∩B=B，
∴B⊆A，
当a≤0时，B=∅，满足B⊆A，
当a＞0，|x-3|＜a，解得-a+3＜x＜a+3，
∴B=（-a+3，a+3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+3≥-4}\\{a+3≤5}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤2，
综上所述a的取值范围为（-∞，2]．

点评 本题考查了交、并、补集的混合运算，利用集合之间的关系、分类讨论思想求参数的范围，以及一元二不等式的解法．