Question

.(本小题满分12分)
已知以函数f(x)＝mx³－x的图象上一点N(1，n)为切点的切线倾斜角为.
(1)求m、n的值；
(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－1995，对于x∈[－1,3]恒成立？若存在，求出最小的正整数k，否则请说明理由．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝3mx²－1，
f′(1)＝tan＝1，
∴3m－1＝1，∴m＝.
从而由f(1)＝－1＝n，得n＝－，
∴m＝，n＝－.
(2)存在．
f′(x)＝2x²－1＝2(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0得x＝±.
在[－1,3]中，当x∈[－1，－]时，
f′(x)＞0，f(x)为增函数，
当x∈[－，]时，
f′(x)＜0，f(x)为减函数，
此时f(x)在x＝－时取得极大值．
当x∈[，3]时，
此时f′(x)＞0，f(x)为增函数，
比较f(－)，f(3)知f(x)_max＝f(3)＝15.
∴由f(x)≤k－1995，知15≤k－1995，
∴k≥2010，即存在最小的正整数k＝2010，
使不等式在x∈[－1,3]上恒成立．

略