题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,已知是直角三角形,侧面是矩形,,,.
(1)证明:.
(2)是棱的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)根据是直角三角形,,得到,再根据侧面是矩形,得到,然后利用线面垂直的判定定理得到平面,从而,在平行四边形中,得到,再利用线面垂直的判定定理得到平面即可.
(2)根据(1)以为坐标原点,分别以,,为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量,的坐标,由线面角的向量公式求解.
(1)证明:因为是直角三角形,,
所以.
因为侧面是矩形,所以.
因为,所以平面,
从而.
因为,,,
所以,即.
因为,
所以平面.
所以.
(2)由(1)知,以为坐标原点,分别以,,为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,,,.
设平面的一个法向量为,
由,得
令,得.
又,
设直线与平面所成角的大小为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题目】我国新型冠状病毒肺炎疫情期间,以网络购物和网上服务所代表的新兴消费展现出了强大的生命力,新兴消费将成为我国消费增长的新动能.某市为了了解本地居民在2020年2月至3月两个月网络购物消费情况,在网上随机对1000人做了问卷调查,得如下频数分布表:
网购消费情况(元) | |||||
频数 | 300 | 400 | 180 | 60 | 60 |
(1)作出这些数据的频率分布直方图,并估计本市居民此期间网络购物的消费平均值;
(2)在调查问卷中有一项是填写本人年龄,为研究网购金额和网购人年龄的关系,以网购金额是否超过4000元为标准进行分层抽样,从上述1000人中抽取200人,得到如下列联表,请将表补充完整并根据列联表判断,在此期间是否有95%的把握认为网购金额与网购人年龄有关.
网购不超过4000元 | 网购超过4000元 | 总计 | |
40岁以上 | 75 | 100 | |
40岁以下(含40岁) | |||
总计 | 200 |
参考公式和数据:.(其中为样本容量)
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |