题目内容

【题目】如图,在三棱柱中,已知是直角三角形,侧面是矩形,.

1)证明:.

2是棱的中点,求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】1)见解析(2

【解析】

1)根据是直角三角形,,得到,再根据侧面是矩形,得到,然后利用线面垂直的判定定理得到平面,从而,在平行四边形中,得到,再利用线面垂直的判定定理得到平面即可.

2)根据(1)以为坐标原点,分别以轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量,的坐标,由线面角的向量公式求解.

1)证明:因为是直角三角形,

所以.

因为侧面是矩形,所以.

因为,所以平面

从而.

因为

所以,即.

因为

所以平面.

所以.

2)由(1)知,以为坐标原点,分别以轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,

.

设平面的一个法向量为

,得

,得.

设直线与平面所成角的大小为

所以直线与平面所成角的正弦值为.

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