题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3,直线与椭圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点的直线与椭圆相交于,两点,若,问直线是否存在?若存在,求直线的斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)直线存在,且直线的斜率的取值范围是.
【解析】
(1)由题意,,解方程组即可;
(2)分直线垂直于轴和直线不垂直于轴两种情况讨论,当直线垂直于轴时,易得,,,不符合题意;当直线不垂直于轴时,设,,直线方程为,联立椭圆方程得到根与系数的关系,代入的坐标表示中,即可得到关于的不等式,解不等式即可.
(1)设椭圆的半焦距为.
在中,令,得,解得.
由垂径长(即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长)为3,
得,
所以.①
因为直线与椭圆相切,则.②
将②代入①,得.
故椭圆的标准方程为.
(2)设点,.
易知点,当直线的斜率存在时,设为,则直线的方程为.
联立,得,
则恒成立.
所以,,
.
因为,
所以,即.
即,
得,得,
即,解得.
当直线的斜率不存在时,点,,,,
此时,,不符合题意,故舍去.
综上,直线存在,且直线的斜率的取值范围是.
【题目】某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内,按,,,,,分成6组,其频率分布直方图如图所示.
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;
(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”,补全下面的列联表,并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”;
男 | 女 | 合计 | |
网购迷 | 20 | ||
非网购迷 | 45 | ||
合计 | 100 |
(3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示:
网购总次数 | 支付宝支付次数 | 银行卡支付次数 | 微信支付次数 | |
甲 | 80 | 40 | 16 | 24 |
乙 | 90 | 60 | 18 | 12 |
将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为,求的数学期望.
附:观测值公式:
临界值表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |