题目内容

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3,直线与椭圆相切.

1)求椭圆的标准方程;

2)设过点的直线与椭圆相交于两点,若,问直线是否存在?若存在,求直线的斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2)直线存在,且直线的斜率的取值范围是

【解析】

1)由题意,解方程组即可;

2)分直线垂直于轴和直线不垂直于轴两种情况讨论,当直线垂直于轴时,易得,不符合题意;当直线不垂直于轴时,设,直线方程为,联立椭圆方程得到根与系数的关系,代入的坐标表示中,即可得到关于的不等式,解不等式即可.

1)设椭圆的半焦距为

中,令,得,解得

由垂径长(即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长)为3

所以.①

因为直线与椭圆相切,则.②

将②代入①,得

故椭圆的标准方程为

2)设点

易知点,当直线的斜率存在时,设为,则直线的方程为

联立,得

恒成立.

所以

因为

所以,即

,得

,解得

当直线的斜率不存在时,点

此时,,不符合题意,故舍去.

综上,直线存在,且直线的斜率的取值范围是

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