题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,且点在椭圆.

1)求椭圆的标准方程;

2)过点的直线与椭圆交于两点,在直线上存在点,使三角形为正三角形,求的最大值.

【答案】1;(2.

【解析】

1)由离心率得,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合可解得,得椭圆方程;

2)设直线方程为,与联立方程组,消去,设,由韦达定理得.设线段的中点为,得直线方程,求出点坐标(此结论对也适用),是等边三角形等价于,由此可把表示,设换元后,可利用基本不等式求得最值.

1)设,则,所以

由点在椭圆上得

,所以椭圆的方程为.

2)显然,直线的斜率存在,设其方程为

联立方程组,消去,并化简得.

,则.

设线段的中点为,则直线,令

,得点的坐标为,显然当时也符合,

所以.

又因为

由三角形为正三角形得

所以两边平方可得

,得.

,则,当且仅当,即时等号成立,此时,所以的最大值为.

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