题目内容
【题目】已知椭圆:的离心率为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线与椭圆交于,两点,在直线上存在点,使三角形为正三角形,求的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由离心率得,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合可解得,得椭圆方程;
(2)设直线方程为,与联立方程组,消去,设,,由韦达定理得.设线段的中点为,得直线方程,求出点坐标(此结论对也适用),是等边三角形等价于,由此可把用表示,设换元后,可利用基本不等式求得最值.
(1)设,则,,所以,,
由点在椭圆上得,
,,所以椭圆的方程为.
(2)显然,直线的斜率存在,设其方程为,
与联立方程组,消去,并化简得.
设,,则,.
设线段的中点为,则直线:,令,
又,得点的坐标为,显然当时也符合,
所以.
又因为,
由三角形为正三角形得,
所以两边平方可得
,得.
令,则,当且仅当,即时等号成立,此时,所以的最大值为.
【题目】近年来,共享单车在我国各城市迅猛发展,为人们的出行提供了便利,但也给城市的交通管理带来了一些困难,为掌握共享单车在省的发展情况,某调查机构从该省抽取了5个城市,并统计了共享单车的指标和指标,数据如下表所示:
城市1 | 城市2 | 城市3 | 城市4 | 城市5 | |
指标 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
指标 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
(1)试求与间的相关系数,并说明与是否具有较强的线性相关关系(若,则认为与具有较强的线性相关关系,否则认为没有较强的线性相关关系).
(2)建立关于的回归方程,并预测当指标为7时,指标的估计值.
(3)若某城市的共享单车指标在区间的右侧,则认为该城市共享单车数量过多,对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理,直至指标在区间内现已知省某城市共享单车的指标为13,则该城市的交通管理部门是否需要进行治理?试说明理由.
参考公式:回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为
,,相关系数
参考数据:,,.