题目内容
已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.
(1)求证:-2<
<-1.
(2)若x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
(1)求证:-2<
<-1.(2)若x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
(1)见解析 (2) [
,
)
,)(1)当a=0时,f(0)=c,f(1)=2b+c,
又b+c=0,
则f(0)·f(1)=c(2b+c)=-c2<0与已知矛盾.
因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)
=-(a+b)(2a+b)>0,
即(+1)(+2)<0,从而-2<<-1.
(2)x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,
则x1+x2=-
,x1x2=-
,
那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=(-)2+4×=
·()2+
·+
=(+
)2+
.
∵-2<<-1,
∴≤(x1-x2)2<,
∴≤|x1-x2|<.
即|x1-x2|的取值范围是[,).
又b+c=0,
则f(0)·f(1)=c(2b+c)=-c2<0与已知矛盾.
因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)
=-(a+b)(2a+b)>0,
即(
+1)(+2)<0,从而-2<<-1.(2)x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,
则x1+x2=-
,x1x2=-,那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=(-
)2+4×=·()2+·+=
(+)2+.∵-2<
<-1,∴
≤(x1-x2)2<,∴
≤|x1-x2|<.即|x1-x2|的取值范围是[
,).
练习册系列答案
相关题目
是
上的增函数，
，已知
．
在
单调递增，求实数
的取值范围；
时，
，求实数
若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )
，用二分法求方程
的近似根过程中，计算得到
，则方程的根落在区间
)=2,则f(
)的值是( )
(x>0)．
的取值范围是________．
－3x)＋1，则f(lg 2)＋f
＝( )．