题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ) 若函数有零点, 求实数
的取值范围;
(Ⅱ) 证明:当时,
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】试题分析:(I)求导,利用导数的符号变换研究函数的单调性和极值,再通过极值的符号进行求解;(II)将不等式恒成立问题转化为分别求两端函数的最值问题,再利用导数进行求解.
试题解析: (Ⅰ)函数的定义域为
.
由, 得
.
因为,则
时,
;
时,
.
所以函数在
上单调递减, 在
上单调递增. 当
时,
. 当
, 即
时, 又
, 则函数
有零点.
所以实数的取值范围为
.
(Ⅱ) 要证明当时,
,
即证明当时,
, 即
令, 则
.
当时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递减, 在
上单调递增.
当时,
. 于是,当
时,
①
令, 则
.
当时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递增, 在
上单调递减.
当时,
. 于是, 当
时,
②
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时,
.
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