Question

【题目】已知函数y=x+ 有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0， ]上是减函数，在[ ，+∞）上是增函数．
（1）若f（x）=x+ ，函数在（0，a]上的最小值为4，求a的值；
（2）对于（1）中的函数在区间A上的值域是[4，5]，求区间长度最大的A（注：区间长度=区间的右端点﹣区间的左断点）；
（3）若（1）中函数的定义域是[2，+∞）解不等式f（a2﹣a）≥f（2a+4）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意的：函数f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，

当a＞ 时，即a＞1时函数在x= 处取得最小值，

∴f（ ）=2 =4，解得a=4，

当a＜ 时，即0＜a＜1时，函数在x=a处取得最小值，

∴f（a）=a+1=4，解得a=3不符合题意，舍去．

综上可得 a=4

（2）解：由（1）得f（x）=x+ ，又x=2时函数取得最小值4，

令x+ =5，则x2﹣5x+4=0，解得 x=1或 x=4，

又2∈[1，4]，

∴区间长度最大的A=[1，4]

（3）解：由（1）知函数在[2，+∞）上单调递增，

∴原不等式等价于 ，

解得a≥4或a=﹣1，

∴不等式的解集{a|a≥4或a=﹣1}

【解析】（1）利用性质，讨论 与区间（0，a]的关系，从而利用最小值是4，建立条件关系．（2）根据值域为[4，5]，确定对应的变量x，然后判断最大的区间．（3）利用函数的单调性，解不等式即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．