Question

【题目】如图，三棱柱中， 平面分别为和的中点， 是边长为的正三角形， .

（1）证明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）取的中点，利用平行四边形得到线线平行，进而利用线面平行的判定定理进行证明；（2）利用图中的垂直关系建立合适的空间直角坐标系，利用平面的法向量和夹角公式进行求解.

试题解析：(1)取的中点，连接分别为和的中点， ，则四边形是平行四边形，则平面平面平面.

(2)取中点为等边三角形， ，又平面平面，建立以为坐标原点， 分别为轴的空间直角坐标系如图：

则，则设平面的法向量为， ，则，即，令，则，即，平面的法向量为， ，则，得，即，令，则，即，则

，即二面角的余弦值是.