题目内容
【题目】在直角坐标系中,设椭圆
的焦点为
,过右焦点
的直线
与椭圆
相交于
两点,若
的周长为短轴长的
倍.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设的斜率为
,在椭圆
上是否存在一点
,使得
?若存在,求出点
的坐标.
【答案】(1)(2)不存在点
,使
成立.
【解析】试题分析:(1)根据椭圆定义得的周长为
,即
,解得椭圆
的离心率;(2)设
,
,
,则由
得
代入等式
,并化简得
.利用直线方程
与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理得
,
.代入解得矛盾,故不存在.
试题解析:解:(Ⅰ)∵椭圆:
的焦点为
,
,
过右焦点的直线
与椭圆
相交于
两点,
的周长为短轴长的
倍,
的周长为
.
∴依题意知,即
.
∴椭圆的离心率
.
(Ⅱ)设椭圆方程为,
直线的方程为,
代入椭圆方程得.
设,
,
则,
.
设,则
.①
由得
代入①得.
因为,
,
所以.②
而
.
从而②式不成立.
故不存在点,使
成立.
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