Question

4．一条斜率为2的直线与抛物线y²=4x相交于A、B两点，已知$|{AB}|=3\sqrt{5}$．求该直线方程．

Answer 1

分析 设直线方程为y=2x+b，联立方程，可得y²-2y+2b=0，由韦达定理得：y₁+y₂=2，y₁•y₂=2b，代入弦长公式，求出b值，可得答案．

解答 解：设直线方程为y=2x+b，即2x=y-b，
代入抛物线y²=4x可得：y²=2（y-b），即y²-2y+2b=0，
由韦达定理得：y₁+y₂=2，y₁•y₂=2b，
则|AB|=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$$\sqrt{{（y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}•{y}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{4-8b}$=3$\sqrt{5}$．
解得：b=-4，
故直线方程为：y=2x-b，即2x-y-8=0

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，弦长公式，是直线与圆锥曲线的简单综合，难度中档．