Question

15．已知圆M：x²+（y-4）²=4，点P是直线l：x-2y=0上的一个动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）当切线PA的长度为2$\sqrt{3}$时，求点P的坐标；
（2）记∠APB=θ，求cosθ的最小值；
（3）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圆M的圆心和半径，由勾股定理，可得MP=4，运用两点的距离公式和直线x=2y，可得P的坐标；
（2）cosθ=1-2sin²$\frac{θ}{2}$=1-$\frac{8}{M{P}^{2}}$，要求cosθ的最小值，只需求MP的最小值．求得M到直线x=2y的距离，即可得到最小值；
（3）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程即可得到圆过定点．

解答 解：（1）圆M：x²+（y-4）²=4的圆心M（0，4），半径为2，
在直角△MAP中，PA=2$\sqrt{3}$，AM=2，可得MP=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2y}\\{{x}^{2}+（y-4）^{2}=16}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
即有P（0，0），（$\frac{16}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
（2）在直角△MAP中，sin∠APM=sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{MA}{MP}$=$\frac{2}{MP}$，
则cosθ=1-2sin²$\frac{θ}{2}$=1-$\frac{8}{M{P}^{2}}$，
要求cosθ的最小值，只需求MP的最小值．
MP的最小值，即为M到直线x-2y=0的距离，
且为d=$\frac{|0-8|}{\sqrt{5}}$=$\frac{8}{\sqrt{5}}$．
则有cosθ的最小值为1-$\frac{5}{8}$=$\frac{3}{8}$；
（3）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为：（x-b）²+（y-$\frac{b+4}{2}$）²=$\frac{4{b}^{2}+（b-4）^{2}}{4}$，
即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
所以圆过定点（0，4），（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

点评 本题考查直线与圆的综合，考查圆过定点，考查圆的切线长问题，确定圆的方程是关键．