Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B=2cos2C，那么cosC的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用倍角公式化为正弦形式，然后利用正弦定理化为边，用余弦定理化为cosC，运用基本不等式可求得最小值．

解答 解：由cos2A+cos2B=2cos2C，
得1-2sin²A+1-2sin²B=2（1-2sin²C），即sin²A+sin²B=2sin²C，
由正弦定理可得a²+b²=2c²，
由余弦定理可得c²+2abcosC=2c²，
所以cosC=$\frac{{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4ab}$≥$\frac{2ab}{4ab}$=$\frac{1}{2}$，
所以cosC的最小值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换及其化简求值、正余弦定理，考查灵活运用公式解决问题的能力．