Question

5．已知两个正实数x，y满足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，并且x+2y≥m²-2m恒成立，则实数m的取值范围是[-2，4]．

Answer 1

分析 由已知利用基本不等式求出x+2y的最小值，代入m²-2m≤8求得m的范围得答案．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=2+2+$\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}$$≥4+2\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}=8$，
上式当且仅当x=2y，即x=4，y=2时等号成立．
不等式x+2y≥m²-2m恒成立，即m²-2m≤8恒成立，
解得-2≤m≤4．
∴实数m的取值范围是[-2，4]．
故答案为：[-2，4]．

点评 本题考查恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，关键是“1”的应用，是中档题．