Question

【题目】圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kASkAN为常数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设，，，根据向量关系，用的坐标表示的坐标后，将的坐标

代入圆的方程可得的轨迹方程；（2）设出直线的方程并代入椭圆方程，利

用韦达定理以及斜率公式得为常数.

（1）设P（x0，y0），M（x，y），则＝（x0，0），＝（0，y0），

由 ．得

代入x02+y02＝9，所以点M的轨迹C的方程为.

（2）当SN的斜率不存在时，AS，AN的斜率也不存在，故不适合题意；

当SN的斜率存在时，设斜率为k，

则直线SN的方程为y＝kx﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0k2＞2

设S（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，

则kASkAN＝ ＝，

故kASkAN为常数.