题目内容
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
以平面直角坐标系xOy的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线l的坐标方程为,曲线C的参数方程为
(θ为参数).
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;
(2)以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线l相切,求r的最小值.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
(1)直接利用极直互化的公式求直线的直角坐标方程,利用三角恒等式消参求曲线
的普通方程;(2)设点
的坐标为
,再利用三角函数的图像和性质求
的最小值.
(1)由,
得,
将,
代入上式,
得直线的直角坐标方程为
.
由曲线的参数方程
(
为参数),
得曲线的普通方程为
.
(2)设点的坐标为
,
则点到直线
的距离为
(其中
当时,圆
与直线
相切,
故当时,
取最小值,
且的最小值为
.
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