题目内容

5.已知函数f(x)=alnx+$\frac{b}{x}$+2x(a、b∈R)两个极值点分别在区间($\frac{1}{2}$,1)和(1,2)内,则z=a+b的取值范围是(-10,-4).

分析 求函数的导数,结合函数的导数和极值之间的关系建立不等式组,利用线性规划的知识进行求解.

解答 解:函数的导数f′(x)=$\frac{a}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$+2,
若两个极值点分别在区间($\frac{1}{2}$,1)和(1,2)内,
则f′(x)=0的根在区间($\frac{1}{2}$,1)和(1,2)内,
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{f′(\frac{1}{2})>0}\\{f′(1)<0}\\{f′(2)>0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{2a-4b+2>0}\\{a-b+2<0}\\{\frac{a}{2}-\frac{b}{4}+2>0}\end{array}\right.$
作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=a+b,得b=-a+z,
平移直线b=-a+z,由图象知当直线b=-a+z,经过点C时,目标函数的截距最大,此时z最大,
经过点B时,目标函数的截距最小,此时z最小,
由$\left\{\begin{array}{l}{a-2b+1=0}\\{a-b+2=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-1}\end{array}\right.$,即C(-3,-1),此时z=-3-1=-4,
由$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{\frac{a}{2}-\frac{b}{4}+2=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=-4}\end{array}\right.$,即B(-6,-4),此时z=-6-4=-10,
即-10<z<-4,
故答案为:(-10,-4).

点评 本题主要考查函数导数和极值之间的关系以及不等式的应用,根据条件转化为线性规划,利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.

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