Question

15．已知直线l：$\sqrt{2}$ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A、B两点（其中a，b为实数），点Q（0，$\frac{2}{3}$）是圆内的一定点．
（1）若a=$\sqrt{2}$，b=1，求△AOB的面积；
（2）若△AOB为直角三角形（O为坐标原点），求点P（a，b）与点Q之间距离最大时的直线l方程；
（3）若△AQB为直角三角形，且∠AQB=90°，试求AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，进一步求得|AB|，然后代入三角形的面积公式得答案；
（2）在直角三角形AOB中，求得|AB|，再由点到直线的距离公式得到a，b的关系，把|PQ|用含有b的代数式表示，通过配方法求得点P（a，b）与点Q之间距离最大时的a，b的值，则直线l的方程可求；
（3）设出M的坐标，利用圆中的垂径定理列式求得AB中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）由已知直线方程为2x+y=1，圆心到直线的距离$d=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$|AB|=2\sqrt{1-{d}^{2}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{2}{5}$；
（2）∵△AOB为直角三角形，∴|AB|=$\sqrt{2}$，
∴圆心到直线的距离为$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{1}{2}|AB|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即2a²+b²=2，
∵2-b²=2a²≥0，∴$-\sqrt{2}≤b≤\sqrt{2}$，
$|PQ|=\sqrt{{a}^{2}+（b-\frac{2}{3}）^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}{b}^{2}-\frac{4}{3}b+\frac{13}{9}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（b-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{5}{9}}$，
当$b=-\sqrt{2}$时可取最大值，此时a=0，
∴直线l方程为$\sqrt{2}y+1=0$；
（3）设M（x，y），连OB，OM，OQ，则由“垂径定理”知：
M是AB的中点，则OM⊥AB，∴|OM|²+|MB|²=|OB|²，
又在直角三角形AQB中，$|QM|=|AM|=|BM|=\frac{1}{2}|AB|$，
∴|OM|²+|QM|²=|OB|²，
即${x}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}+（y-\frac{2}{3}）^{2}=1$，
∴M点的轨迹方程为：${x}^{2}+{y}^{2}-\frac{2}{3}y-\frac{5}{18}=0$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，训练了平面几何中垂径定理的应用，考查了计算能力，是中档题．